אונקולוגיה היפרתרמית: היפרתרמיה לטיפול בסרטן

טמפרטורות גבוהות יכולות להיות מנוצלות לטובת הרס של תאים סרטניים, כשיטה לטיפול בסרטן הידועה כ- “אונקולוגיה היפרתרמית”. על אף העובדה כי הרעיון מאחורי שיטות טיפול אלו קיים כבר זמן מה, רק לאחרונה נמצאו כלים חדשים והעברה מדויקת יותר של חום, אשר איפשרו להיפרתרמיה להיות שיטה לטיפול בסרטן. בעוד שהמחקרים אודות אונקולוגיה היפרתרמית נמשכים, הוכח כי סימולציה היא כלי חשוב בהשגת הבנה מעמיקה יותר של הדרך למיקוד החום בגידולים תוך כדי הגבלת הנזק לרקמות הבריאות.

כיצד היפרתרמיה עוזרת לטיפול בסרטן?

ישנן שתי דרכים שונות בהן היפרתרמיה יכולה לעזור בטיפול בסרטן. הראשונה נקראת היפרתרמיה מקומית, או אבלציה תרמית, ועושים בה שימוש כטיפול באזור קטן של תאים, כגון גידולים. טיפול זה מוצלח יותר כאשר משתמשים בו לטיפול בגידולים שנמצאים על או ליד העור. בטיפול זה, האזור מחומם בדרך כלל לטמפרטורות של בין 40 ל- 45 מעלות צלסיוס (104 ל- 113 מעלות פרנהייט). הסוג השני נקרא היפרתרמיה אזורית, ובו משתמשים בחום נמוך להעלאת הטמפרטורה באזור מסוים בגוף כמו איבר זה או אחר. בד”כ הטמפרטורה לא מספיק גבוהה כדי להרוס רקמות, אך לעומת זאת היא משולבת עם כימותרפיה או קרינה כדי להפוך את הטיפולים הללו לאפקטיביים יותר.

נכון להיום, טיפולי אונוקולוגיה היפרתרמית נמצאים תחת בדיקות וניסויים נרחבים. הטיפול מוצע רק במספר קטן של מרכזים ברחבי העולם. כיוון שקשה למדוד את הטמפרטורה בתוך הגידול, קשה להבטיח כי האזור המטופל נשמר בטווח הטמפרטורה המדויק שנזקק לתקופת הזמן הרלוונטית, ללא השפעה על הרקמות שמסביב. בנקודה זו סימולציה מוכחת ככלי עוצמתי. ניתן להשתמש בה כדי לחקור את התגובות של סוגי רקמות שונים להיפרתרמיה, לקבוע את הטמפרטורות המושגות בתוך גידול, ולעזור בהחלטה על התכנון האופטימאלי והמיקום של חיישני טמפרטורה.

שימוש בסימולציה לשיפור הטיפול
בואו נעיף מבט על מודל של שיטת טיפול היפרתרמיה מקומית שמשתמש בהתגבשות גלי מיקרו לחימום גידול ע”י החדרת אנטנה לתוכו. שיטה זו נפוצה בטיפול בקרצינומה הפטוצלולרית (הסוג הכי נפוץ של סרטן הכבד). גלי המיקרו מחממים את הכבד ויוצרים אזור מגובש בו התאים הסרטניים מושמדים.

כיוון שהמודל מכיל סימטריה סיבובית, האזור המחושב יכול להיות מיוצג בשני מימדים ע”י שימוש בקואורדינטות גליליות. כיוון שנחסך זמן חישוב במידול בשני מימדים, ניתן לבחור ברשת סבוכה, אשר תספק תוצאות מאוד מדויקות. במודל, החלקים המתכתיים של האנטנה והחריץ נקבעו להיות הגבולות. ממודל מעבר חום באזור הכבד, ונעשה שימוש בבידוד במקום בו האזור מסתיים. בנוסף לניתוח מעבר חום, הסימולציה נותנת גם מידע אודות רמת הפגיעה ברקמות בזמן התהליך, כפי שחושב ע”י משוואת ארניוס. המודל מניח כי דם חודר לכבד ב- 37 מעלות צלסיוס.
הצורה למטה מציגה את תוצאות תפוצת הטמפרטורה ברקמת הכבד בכוח כניסה של גלי מיקרו של 10 וואט אחרי 10 דקות. הטמפרטורה הכי גבוהה נמדדת ליד האנטנה ויורדת ככל שמתרחקים, מגיעה ל- 37 מעלות סלציוס בסמוך לאזורים החיצוניים של המרחב (התמונה העליונה). נראה כי הטמפרטורה הקרה באופן יחסי של הדם מגבילה את אזור הרקמה שהתחממה. התמונה התחתונה מראה את חלק הרקמה שיש בו נמק.

המודל יודע גם לחשב את ערך שיעור הספיגה הסגולית בתוך הכבד, והגרף למטה מראה זאת מחושב לאורך קו המקביל לאנטנה ובמרחק 2.5 מילימטרים מציר האנטנה.

העתיד בטיפולי סרטן בהיפרתרמיה
ניסיונות רפואיים הראו כי היפרתרמיה העלתה בצורה משמעותית את האפקטיביות של רדיותרפיה וכימותרפיה. לעומת זאת, ישנם שני סיבוכים עיקריים שהופכים את הטיפול בהיפרתרמיה לאתגר: היכולת לקבוע במדויק את הטמפרטורה בתוך גידול, והיכולת להבטיח כי טמפרטורה אחידה מושגת בתוך האזור המבוקש. למרות זאת, כלים מתקדמים להעברת חום וניטור טמפרטורה, מבטיחים את העתיד בטיפולי היפרתרמיה. התקדמות בטכניקות חישוב גם משחקת תפקיד בהתפתחות זו. בנוסף לסיפוק אינפורמציה מדויקת יותר אודות תכנון, אופטימיזציה והטמעת טיפולי היפרתרמיה, משתמשים גם בסימולציה כדי לפתח טיפולי היפרתרמיה מותאמים אישית. מחקרים עכשוויים ממשיכים להסתמך על סימולציה בכדי להבין טוב יותר, לשפר ולאפיין אונקולוגיה היפרתרמית.

תוכנת ®COMSOL Multiphysics אותה משווקת בלעדית בישראל חברת נומריקל בע”מ, הינה תוכנת סימולציות מובילה המשמשת לתכנון ועיצוב מוצרים ומתפקדת כמעבדה ניסויית וירטואלית עם תוצאות תואמות מציאות. אל התוכנה ניתן לייבא תרשימים מתוכנות CAD רבות ותוכנות שרטוט כגון SolidWorks® , ולבנות מודלים מגוונים עליהם מבוצעים צימודים מולטיפיזיקליים ובחינת השפעות בדרך של אנליזה נומרית.

מאמר זה נלקח מהבלוג של COMSOL®

מדוע בטריות הרכב מתפקדות בצורה דלה במזג אוויר חורפי?

הנעת הרכב בבוקרו של יום חורפי עשויה להיות חוויה לא נעימה כלל אם לא היינו פרואקטיביים בלילה שלפני. כאשר אין באפשרותנו להדליק את המנוע, לרוב האשמה נופלת על הבטריה. מדוע הבטריה יותר רגישה משאר התהליכים ברכב? התשובה טמונה ביכולתה של הבטריה להמיר אנרגיה כימית לאנרגיה חשמלית, במינימום יצירה של חום, והכמות הנמוכה באופן יחסי של אנרגיה תרמית אשר זמינה בטמפרטורות נמוכות.

למעשה הבעיה הזו לא מוגבלת רק לבטריות – מנוע הבעירה הפנימי אף הוא נתקל בבעיות בטמפרטורות נמוכות באופן קיצוני. שמן המנוע הופך לצמיגי יותר, תגובות הבעירה הופכות איטיות, ותהליך העיבוי עשוי לקפוא בחלקים קריטיים של מערכת הדלק.
אז מהי הסיבה להבדלי התפקוד של המנוע והבטריה בין טמפרטורה נורמלית לנמוכה מאוד? את התשובה ניתן למצוא באופן שבו אנרגיה כימית מומרת לאנרגיה מכאנית:

• מנוע הבעירה הפנימי ממיר לחום אנרגיה כימית המאוחסנת בדלק, אשר לאחר מכן מומרת לאנרגיה מכאנית.
• המנוע של רכב חשמלי ממיר את האנרגיה הכימית בבטריה לאנרגיה חשמלית, אשר הופכת אחרי זה לאנרגיה מכאנית ע”י המנוע החשמלי. הוא מייצר כמות נמוכה מאוד של חום ביחס למנוע הבעירה.

תהליך המעבר מאנרגיה תרמית לאנרגיה מכאנית במנוע הבעירה הפנימי יוצר חום רב כבר במכה הראשונה ומחמם במהירות את המנוע, והמכונית יכולה לנסוע באופן מיידי. לעומת זאת, ייצור החום האיטי המתרחש בטמפרטורות קיצוניות ברכבים חשמליים אינו מספק את אותו התהליך.

כדאי לדעת כי יעילות ההמרה של אנרגיה כימית למכאנית היא גבוהה הרבה יותר ברכבים חשמליים, כיוון שההפסדים בבטריה ובמנוע החשמלי הם נמוכים באופן יחסי.
נעזוב רגע בצד את הסוגיות של יעילות וייצור חום, ולפני שנדון בנושא הבטריה, בואו נשווה בין התהליכים שעלולים לגרום לקשיים במזג אוויר קר, ברכבים חשמליים ורגילים.

השוואת תהליכי הרכב

בואו נתחיל במנוע החשמלי ובמנוע הבעירה הפנימי. אנחנו יכולים להניח כי מנוע חשמלי פחות מושפע מטמפרטורות נמוכות בהשוואה למנוע בעירה פנימי. הוא מכיל פחות חלקים זזים, וכיוון שהחלקים הזזים מופרדים אחד מהשני בעיקר ע”י מרווחי אוויר, מנוע זה יצריך פחות שמן ויהיה פחות רגיש לטמפרטורות נמוכות.

תיבת ההילוכים ברכב חשמלי היא בנוסף פחות מסובכת מזו הקיימת ברכב עם בעירה פנימית, כיוון שמנוע חשמלי מסוגל לתפקד על פני טווח רחב של עומסים עם מומנט מצוין. בנוסף, לרכב חשמלי עשויים להיות מספר מנועים (למשל אחד מקדימה ואחד מאחורה), וכך להיפטר מכמות נכבדה של התמסורת הנדרשת להפעלה של ארבעה גלגלים. זה מרמז על כך שמכונית חשמלית לא דורשת תיבת הילוכים מסובכת שחייבת להיות משומנת. כתוצאה מכך, הרכב החשמלי אמור להיות רגיש פחות לטמפרטורות גם בשל סיבה זו.
ולבסוף, רכב חשמלי לא דורש מערכת דלק סבוכה עם משאבות, שסתומים, הזרקות, מונים ועוד. עובדה זו גם אמורה להפוך אותו לפחות רגיש לטמפרטורות נמוכות ביחס לרכבים רגילים, עם פחות רכיבים שמעוכבים בגלל הצטברות של קרח.
כצפוי, זוהי הבטריה שמתפקדת רע בטמפרטורות נמוכות. למעשה, ההשפעה של טמפרטורות נמוכות על התפקוד של בטריות משתקפת ביישומים רבים, מציוד צבאי ויישומי חלל ועד לטלפונים סלולריים ומערכות אזעקה ביתיות. הרכיב הזה הוא מן הסתם פחות קריטי במנוע בעירה פנימי, אשר סך הכל זקוק לזרם עוצמתי קצר בכדי להפעיל את המנוע. זאת בהשוואה לרכב חשמלי שזקוק לאספקת זרם קבועה.
אז בואו אם כך ניתן מבט נוקב יותר על ביצועיה של הבטריה וכיצד היא משופעת מטמפרטורה.

מאפייניה תלויי הטמפרטורה של הבטריה

בטריה מורכבת משתי אלקטרודות נקבוביות, חיובית ושלילית. החומר מוליך החשמל רווי בחלקיקים של חומר אלקטרוליטי. הרווח בין החלקיקים הללו יוצר את נקבוביות האלקטרודות.
שני המוליכים מופרדים באמצעות אלקטרוליט. בנוסף, שתי האלקטרודות הנקבוביות כוללות אלקטרוליט נקבובי ברווח שבין חלקיקי החומר המוליך המוצק. התמונה הבאה מציגה את תהליך הפריקה של הבטריה. החלקיקים הוגדלו משמעותית בתמונה.

ההפסדים בבטריה במצבי טעינה שונים מוצגים בגרף הבא, אשר מראה את עקומי פוטנציאל הזרם עבור האלקטרודה החיובית (אדום) והשלילית (כחול), עם נקודת פעולה המיוצגת ע”י i1 ו- -i1 בהתאמה. אנחנו יכולים להניח כי הפוטנציאל החיובי והשלילי של האלקטרודות נמדד בעזרת האלקטרודה שנמצאת במרכז האלקטרוליט. זאת על מנת לקבל את שני הפוטנציאלים האינדיבידואלים וכדי לכלול את ההפסדים האוהמיים משני הצדדים של האלקטרודה האמצעית.

פוטנציאל התא פוחת בהשוואה למתח החשמלי של התא הפתוח בשל הפסדי שפעול (בעקבות קינטיקה של תגובות אלקטרוכימיות), הפסדי מעבר מסה, והפסדים אוהמיים. נשים לב כי הזרם הקתודי באלקטרודה החיובית מוגדר כשלילי, בעוד שהזרם האנודי באלקטרודה השלילית מוגדר כחיובי. זאת כיוון שהקוטביות של האלקטרוליט בתוך הבטריה היא הפוכה לזו של המעגל החשמלי החיצוני.

מתח פתוח של התא

ההפרש בפוטנציאל האלקטרודי בצפיפות זרם אפסית נקרא מתח פתוח של התא (open cell voltage) במצב טעינה נתון, כפי שראינו בתמונה הקודמת. המתח הפתוח של בטריה כפונקציה של טמפרטורה במצב טעינה נתון מוצג בביטוי המתמטי הבא:

כאשר E הוא מתח התא, http://www.comsol.com/latex?l=%7b\Delta%20S%7d הוא השינוי האנטרופי של תגובת הבטריה, http://www.comsol.com/latex?l=zהוא מספר האלקטרונים שעברו, ו F הוא קבוע פאראדיי. משמעות הדבר שעבור בטריה עם תגובת פריקה נטו עם שינוי אנטרופי חיובי, מתח התא עולה עם הטמפרטורה. עבור בטריה עם שינוי אנטרופי שלילי, מתח התא יורד כאשר הטמפרטורה עולה.

ברוב סוללות הליתיום-יון שמשתמשים בהן ברכבים החשמליים המודרניים ישנו שינוי אנטרופי מעט שלילי או מאוד קטן, שמעיד על כך שהמתח הפתוח של התא עולה במעט כשהטמפרטורה יורדת. זה כשלעצמו עשוי לשפר את הביצוע בטמפרטורות נמוכות. למרות זאת, השינוי במתח הזה כפונקציה של טמפרטורה הוא יחסית קטן בהשוואה לפרמטרים אחרים, בסביבות 0-0.4 mV/K – שזה פחות מ- 30 mV על פני הטווח שבין טמפרטורות מאוד קרות (35- מעלות צלסיוס) לטמפ’ החדר. אנחנו יכולים אם כך לשלול את האופציה כי התרמודינמיקה של תגובת הפריקה נטו של הבטריה היא הסיבה לביצועים רעים בטמפ’ נמוכות.

המאפיינים הפיזיקליים של האלקטרוליט והאלקטרודות

למאפיינים הפיזיקליים של האלקטרוליט ישנה השפעה רבה על ביצועיה של הבטריה. טמפרטורה משפיעה על המוליכות ועל מקדמי הדיפוזיה באלקטרוליט, לכן משפיעה גם על הולכה ומקדם דיפוזיה אפקטיביים באלקטרוליט הנקבובי.
המוליכות של האלקטרוליט יכולה לעלות בסדר גודל אחד או יותר מטמפ’ מאוד קרות ועד לטמפ’ החדר. אם נבנה תרשים של הלוגריתמים של המוליכות האלקטרוליטית כפונקציה של 1/T, נקבל יחס ליניארי, כפי שרואים בתמונה הבאה. הגרף מציג את המוליכות הנמוכה בטמפ’ נמוכה ואת העלייה האקספוננציאלית כשמגיעים לטמפ’ גבוהות.

עקב כך ההפסדים האוהמיים באלקטרוליט עולים כשהטמפרטורות יורדות, והתוצאה היא מתח תא נמוך יותר בזרם נתון בטמפ’ נמוכות יותר. בנוסף, המוליכות הדלה של האלקטרוליט מביאה לתוצאה של התפלגות צפיפות זרם פחות מאוחדת באלקטרודות הפורוזיביות, אשר בתמורה מורידה את הקיבולת של הבטריה. הקיבולת נמדדת ככמות אמפר לשעה שאפשר לקחת מהבטריה לפני שהמתח יורד במהירות. בטמפרטורות נמוכות, ישנה קיבולת, אך המוליכות הנמוכה והתפלגות צפיפות הזרם הלא מאוחדת הופכים את הקיבולת לבלתי זמינה לשימוש עד אשר הבטריה מתחממת.
זאת ועוד, מקדמי הדיפוזיה של הריכוזים הכימיים באלקטרוליט, שהם חיוניים להזנה של התגובות האלקטרוכימיות, מונמכים לאותו שיעור של המוליכות האלקטרוכימית. מקדמי דיפוזיה נמוכים מגבירים את הפוטנציאל העודף של הריכוז, אשר מנמיך את מתח התא. מקדם דיפוזיה נמוך מוריד גם את קיבולת הבטריה, כיוון שחלק גדול יותר של החלקיקים באלקטרודות אינם נגישים בשל הגבלות של מעבר המסה.
נשים לב כי המוליכות ומקדם הדיפוזיה של האלקטרוליט קשורים שניהם לניידות. ההסבר הפיזיקלי לניידות הנמוכה הוא שיש פחות אנרגיה תרמית זמינה באלקטרוליט, דבר המקשה על יונים ועל מולקולות להתגבר על האינטראקציות ועל החיכוך המשותפים שלהם. הניידות באלקטרוליטים כפונקציה של טמפרטורה מתוארת במשוואת ארניוס, בה אנרגיית השפעול מייצגת את האנרגיה הדרושה למולקולות על מנת לגבור על האינטראקציות עם המולקולות השכנות ולנוע באלקטרוליט.
החומר האלקטרודי המוצק הוא לרוב בעל מוליכות שהיא גדולה בכמה סדרי גודל מזו של האלקטרוליט הנקבובי. שינוי המוליכות עם טמפרטורה בחומר המוצק הוא לרוב זניח במונחי ביצועי בטריה. למרות זאת, בבטריות מסוימות, טעינה מחדש עשויה להיות בעייתית בטמפ’ קרות, כיוון שזה עלול להוביל למבנה דנדריט שיהרוס את הבטריה.

קינטיקה של אלקטרודה

התרומה הגדולה לביצועים הדלים של הבטריות בטמפרטורות נמוכות היא הקינטיקה האיטית של התגובות האנודיות והקתודיות, שמובילה לעודף פוטנציאל שפעול. ההסבר הפיזיקלי לקינטיקה האיטית של האלקטרודות הוא שנהיה יותר קשה להתגבר על אנרגיית השפעול בשל הכמויות הנמוכות של אנרגיה תרמית זמינה במערכת בטמפ’ נמוכות.

הגרף הבא מציג את ההשפעה הכוללת על ביצועי הבטריה כשלוקחים בחשבון עלייה בהפסדי שפעול, בהפסדים האוהמיים, ובהפסדי מעבר המסה. אנחנו יכולים לראות כיצד העלייה בעודף הפוטנציאל הכולל גורמת לתוצאה של מתח תא נמוך בהינתן זרם ומצב טעינה מסוימים.

קירור המערכת

מערכות מודרניות של בטריות ברכבים חשמליים מצויידות במערכות מתקדמות של צלעות קירור. מערכות אלו מסוגלות לקרר את הבטריה כאשר היא פועלת בעומסים גבוהים, ולחמם אותה כאשר היא מחוברת לחשמל במהלך לילות קרים.

מערכת הקירור שומרת את הבטריה בטווח טמפרטורות אופטימאלי (התמונה הקודמת). נשים לב כי הגרף מתייחס לטמפ’ ההפעלה של הבטריה, לא לטמפ’ שבסביבה. מערכת הקירור מורידה בנוסף את הסיכון לבריחה תרמית בבטריות ליתיום-יון.
חימום הבטריה בטמפ’ נמוכות אומר בנוסף כי היעילות והטווח של המנוע החשמלי מצטמצמים כיוון שחלק מההספק החשמלי המתחדש חייב להפוך לחום על מנת להשאיר את הבטריה בטווח הפעולה האופטימלי. נוסף על כך, חלק מהאנרגיה עשויה להיות מנוצלת לחימום תא הנהג, דבר שגם הוא מפחית את יעילות הרכב וטווח הנסיעה שלו.

התמונה האחרונה מראה את תוצאות המודל של בטריית ליתיום-יון עבור יישומים ממונעים, המצויידים בערוצי קירור וחימום. מודלים מהסוג הזה הם בעלי שימוש נרחב בתכנון של מערכות לקירור תרמי בבטריות.

מחשבות סיכום

אי היכולת של רכבים חשמליים לחמם את הבטריות שלהם במהירות ובספונטניות לאחר לילות חורפיים קרים במיוחד, נעוצה ביעילות הרבה של המנועים החשמליים והעבודה כי הם לא נדרשים לייצור של אנרגיה תרמית בכדי לעבור למצב של עבודה מכאנית. לכן על הרכב החשמלי להיות תמיד מחובר לחשמל על מנת שטמפ’ הבטריה תישאר בגבולות הטמפ’ הנכונים.

מאמר זה נלקח מהבלוג של COMSOL®

תוצאותיו של מודל של בחינת ביצועים עולות בקנה אחד עם חוקי פרנל

האם אי פעם תהיתם מדוע שייטים מרכיבים משקפי שמש מקוטבות (Polarized)? זאת כיוון שקרני השמש המשתקפות מהמים בעיקר מקוטבות בכיוון אחד, ומשקפי שמש מקוטבות יחסמו את רכיב האור החוזר, ובדרך זו מפחיתים את הסינוור. כדי להבין למה זה, אנחנו יכולים להשתמש בתוכנת ®COMSOL Multiphysics. דוגמא זו פותרת את משוואות מקסוול בעזרת המודול RF והמודול Wave Optics כדי לסמלץ תקרית של אור בזווית על גבי אמצעי דיאלקטרי, והפתרון מציג התאמה עם הפתרונות האנליטיים.

כאשר אור פוגע באמצעי דיאלקטרי

אור השמש הוא בעיקרו אור לא קוהרנטי. הוא מורכב מאורכים רבים של גלים ופולריזציות שונות. למרות זאת, אנחנו יכולים להניח כי השדות האלקטרומגנטיים ליניאריים, כך שכל פולריזציה של אור אפשר להתייחס אליה כסכום של שתי פולריזציות אנכיות – אחת שיש לה את השדה החשמלי המקוטב מקביל למישור של השטח, והשניה שיש לה את השדה המגנטי המקוטב מקביל למישור של השטח.
כאשר אלומת אור (גל אלקטרומגנטי) המתפזרת בשטח פתוח פוגעת באמצעי דיאלקטרי, חלק מהאור יעבור וחלק יחזור. חלקי האור שיחזרו ואלו שיעברו תלויים בזווית של התקרית, במקדם הדיאלקטרי, ובפולריזציה. אפשר לתאר את התופעה גם על ידי חוקי פרנל, שהם פתרון אנליטי למשוואות מקסוול.

במקום לפתור את חוקי פרנל, אנחנו יכולים לבנות מודל ב- ®COMSOL כדי להכין סימולציה של גל אינסופי של תקרית אור על גבי אמצעי דיאלקטרי. ע”י שימוש במודול RF או במודול Wave Optics, אנחנו יכולים לבנות תא יחידה המתאר אזור קטן בסביבת הממשק הדיאלקטרי. אנחנו פותרים את משוואות מקסוול המלאות בתא היחידה, עם תנאי שפה מחזוריים ופורטים כדי לקצר את מרחב המידול.

חוקי פרנל והתוצאות של מודל ®COMSOL עולים בקנה אחד

בואו נסתכל על התוצאות של מודל בחינת הביצועים אשר פותר עבור שתי פולריזציות אנכיות של אור ומחשב את מקדמי ההעברה והחזרה בהתאמה לזווית התקרית.

השוואת תוצאות מודל ®COMSOL עם הפתרון האנליטי של מקדמי החזרה וההעברה, עבור תקרית השדה החשמלי (שמאל) ותקרית השדה המגנטי (ימין).
כפי שניתן לראות בתרשימים, התוצאות של המודל תואמות את הפתרון האנליטי. אנחנו גם יכולים לראות כי פולריזציות שונות של אור יחזרו בצורה שונה ממשק אווירי-דיאלקטרי, וזה עונה לנו על השאלה מדוע משקפי שמש מקוטבות פופולאריות בקרב שייטים!

מאמר זה נלקח מהבלוג של COMSOL®